HS Khiem Tran có hỏi bài toán lớp 6:

[Chuyên mục hỗ trợ hỏi đáp Toán lớp 6] – Tìm n thuộc N để A= 1 + 2^2 + 3^2 +…+ n^2 không chia hết cho 5. Khi đó tìm số dư của P= 1+2+3+…+n khi chia cho 5.


Đề bài:

Tìm n ∈ N để A = 1 + 22 + 32 + … + n2 không chia hết cho 5. Khi đó, tìm số dư của P = 1 + 2 + 3 + … + n khi chia cho 5.


Hướng dẫn giải:

Bước 1

Ta có: A = 1 + 22 + 32 + … + n2

=> A = 1 + 2.(1 + 1) + 3.(2 + 1) + … + n.(n – 1 + 1)

=> A = 1 + 2.1 + 2 + 3.2 + 3 + …+ n.(n – 1) + n

=> A = (1 + 2 + 3 + … + n) + [1.2 + 2.3 + … + (n – 1).n]

=> A = n.(n + 1) : 2 + (n – 1).n.(n + 1) : 3

=> A = n.(n + 1).[1 : 2 + (n – 1) : 3]

=> A = n.(n + 1).(2n + 1) : 6

Xét các trường hợp sau:

+) TH1: Nếu n = 5k (k ∈ N) =>  5k.(5k + 1)(10k + 1) ⋮ 5 => A ⋮ 5 (Loại)

+) TH2: Nếu n = 5k + 1 (k ∈ N) => (5k + 1)(5k + 2)(10k + 3) không chia hết cho 5 => A không chia hết cho 5 (Thỏa mãn).

+) TH3: Nếu n = 5k + 2 (k ∈ N) => (5k + 2).(5k + 3)(10k + 5)

=>  (5k + 2)(5k + 3).5.(2k + 1) ⋮ 5

=> A ⋮ 5 (Loại)

+) TH4: Nếu n = 5k + 3 (k ∈ N) => (5k + 3)(5k + 4)(10k + 7) không chia hết cho 5

=> A không chia hết cho 5 (Thỏa mãn).

+) TH5: Nếu n = 5k + 4 (k ∈ N) => A = (5k + 4)(5k + 5)(10k + 9)

=> (5k + 4).5.(k + 1)(10k + 9) ⋮ 5

=> A ⋮ 5 (Loại)

Vậy, để A không chia hết cho 5 thì: n = 5k + 1 hoặc n = 5k + 3 (k ∈ N).

Bước 2:

Ta có: P = 1 + 2 + 3 + … + n = n.(n + 1) : 2

+) Xét với n = 5k + 1 thì: P = (5k + 1).(5k + 2) : 2

  • Nếu k = 2m (m ∈ N): P = (10m + 1).(10m + 2) : 2 = (10m + 1).2.(5m + 1) : 2

=> P = (10m + 1)(5m + 1) = 10m.5m + 10m + 5m + 1 = 5m(10m + 2 + 1) + 1

=> P Chia cho 5 dư 1.

  • Nếu k = 2m + 1 (m ∈ N): P = (10m + 6).(10m + 7) : 2 = 2.(5m + 3).(10m + 7) : 2

=> P = (5m + 3).(10m + 7) = 5m.10m + 5m.7 + 3.10m + 3.7 = 5.(10m2 + 7m + 6m + 4) + 1

=> P chia cho 5 dư 1.

+) Xét với n = 5k + 3: P = (5k + 3)(5k + 4) : 2

  • Với k = 2q (q ∈ N) => P = (10q + 3)(10q + 4) : 2 = (10q + 3).2.(5q + 2) : 2

=> P = (10q + 3)(5q + 2) = 10q.5q + 10q.2 + 3.5q + 6

=> P = 5.(10q2 + 4q + 3q + 1) + 1

=> P chia cho 5 dư 1.

  • Với k = 2q + 1 (q ∈ N) => P = (10q + 8).(10q + 9) : 2

P = 2.(5q + 4).(10q + 9) : 2

P = (5q + 4)(10q + 9)

P = 5q.10q + 5q.9 + 4.10q + 36

P = 5.(10q2 + 9q + 8q + 7) + 1

=> P chia cho 5 dư 1.

Vậy, với n = 5k + 1 hoặc n = 5k + 3 thì P chia cho 5 dư 1.


Với mong muốn được hỗ trợ giải đáp Toán lớp 6 cho các em học sinh trên toàn quốc, các bậc PHHS có thể xem thêm dịch vụ hỗ trợ giải đáp Toán 6 trực tuyến tại đây: http://toanlop6.com/dich-vu-giai-dap-toan-lop-6-truc-tuyen-danh-cho-hs-tren-toan-quoc/
————————————–
Rất vui lòng được hợp tác cùng với các bậc PHHS.
Trân trọng.