Chứng minh rằng: (n^5 – n) chia hết cho 30

[Bồi dưỡng HSG Toán lớp 6 qua những bài toán hay] – Đề bài: Chứng minh rằng: n5 – n chia hết cho 30.

Hướng dẫn giải:

Ta có: n5 = n4+1 và n có chữ số tận cùng giống nhau nên suy ra:

n5 – n ⋮ 10 (1).

Ta có: n5 – n = n.(n4 – 1) = n(n4 + n2 – n2 – 1) = n.[(n4 + n2) – (n2 + 1)]

= n.[n2.(n2 + 1) – (n2 + 1)]

= n.[(n2 + 1).(n2 – 1)]

= n.(n2 + 1).(n2 – n + n – 1)

= n.(n2 + 1).[n.(n – 1) + (n – 1)]

= n.(n2 + 1).(n – 1).(n + 1)

Vì (n – 1), n, (n + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên suy ra:

(n – 1).n.(n + 1) ⋮ 3

=> n5 – n ⋮ 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: n5 – n ⋮ 30 (đpcm).

Chúc các em học tập tốt 🙂

Thân ái!


Mọi thông tin quý bậc PHHS cần hỗ trợ tư vấn phương pháp học tập, đăng ký học tập chương trình toán lớp 6 cơ bản và nâng cao vui lòng liên hệ Thầy Thích theo số máy: 0919.281.916 (Hỗ trợ 24/7).

Trân trọng.