Chứng minh rằng: (n^5 – n) chia hết cho 30

[Bồi dưỡng HSG Toán lớp 6 qua những bài toán hay] – Đề bài: Chứng minh rằng: n⁵ – n chia hết cho 30.

Hướng dẫn giải:

Ta có: n⁵ = n⁴⁺¹ và n có chữ số tận cùng giống nhau nên suy ra:

n⁵ – n ⋮ 10 (1).

Ta có: n⁵ – n = n.(n⁴ – 1) = n(n⁴ + n² – n² – 1) = n.[(n⁴ + n²) – (n² + 1)]

= n.[n².(n² + 1) – (n² + 1)]

= n.[(n² + 1).(n² – 1)]

= n.(n² + 1).(n² – n + n – 1)

= n.(n² + 1).[n.(n – 1) + (n – 1)]

= n.(n² + 1).(n – 1).(n + 1)

Vì (n – 1), n, (n + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên suy ra:

(n – 1).n.(n + 1) ⋮ 3

=> n⁵ – n ⋮ 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: n⁵ – n ⋮ 30 (đpcm).

Chúc các em học tập tốt 🙂

Thân ái!

---

Mọi thông tin quý bậc PHHS cần hỗ trợ tư vấn phương pháp học tập, đăng ký học tập chương trình toán lớp 6 cơ bản và nâng cao vui lòng liên hệ Thầy Thích theo số máy: 0919.281.916 (Hỗ trợ 24/7).

Trân trọng.